Eski uygarlıkların kullandıkları sayı ve sistemlerin araştırılması

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Sayma veya sayı sistemleri, sayıların yazma/konuşma diliyle ilgili olduğu gibi, dijit sembollerin ve biçim sistemlerinin sayılarını dijital olarak yazma ile de ilgilidir

Wikimedia Commons'ta Sayı sistemleri ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır.

Alt kategoriler

Bu kategoride sadece bir alt kategori bulunmaktadır.

P

"Sayı sistemleri" kategorisindeki sayfalar

Bu kategoride toplam 25 sayfa bulunmaktadır ve şu anda bunların 25 tanesi görülmektedir.

eski uygarlıkların kullandıkları sayı sistemleri bilgi90'dan bulabilirsiniz

Eski Uygarlıkların Kullandıkları Sayı Sistemleri Hazırlayan:Caner Çırakcı Konu.Matematik.

... konulu sunumlar: "Eski Uygarlıkların Kullandıkları Sayı Sistemleri Hazırlayan:Caner Çırakcı Konu.Matematik."— Sunum transkripti:

1 Eski Uygarlıkların Kullandıkları Sayı Sistemleri Hazırlayan:Caner Çırakcı Konu.Matematik

2 Eski Uygarlıklarlar İlkçağdan itibaren rakamları kullanma gereği duymuşlardır. Rakamlar ve sayılar için için kil tabletler üzerine çizikler yaparak, veya kesilmiş ağaç dalına çentikler yapmışlardır. İlkçağda kullanılan bu çentik ve çizikler sayıların gelişmesinde nemli rol oynamıştır.İlk ilkel insanlar, sayıları ifade etmek için de için, değişik ses ve kelimeler de kullanmışlardır.Eski Uygarlıklarlar İlkçağdan itibaren rakamları kullanma gereği duymuşlardır. Rakamlar ve sayılar için için kil tabletler üzerine çizikler yaparak, veya kesilmiş ağaç dalına çentikler yapmışlardır. İlkçağda kullanılan bu çentik ve çizikler sayıların gelişmesinde nemli rol oynamıştır.İlk ilkel insanlar, sayıları ifade etmek için de için, değişik ses ve kelimeler de kullanmışlardır. Bugün sayıları belirten standart hale gelmiş sembol (şekil) ve sözcükler vardır. Günümüzde; sayılar, hem 1, 2, 3 gibi sembollerle ve hem de yazı ile bir, iki, üç, gibi yazabiliyoruz. Fakat bilinen eski sayma sistemlerinden biri, Eski Mısırlıların kullandıklarıdır. Eski Mısırlıların kullandıkları resim yazısının (hiyeroglif) başlangıç tarihi, M.Ö. 3300 yılına kadar geri gider. Eski Mısırlılara ait sayma sistemi, ilkçağ mağara, insanının önceleri kullandığı sayma sisteminin gelişmiş şeklidir.Bugün sayıları belirten standart hale gelmiş sembol (şekil) ve sözcükler vardır. Günümüzde; sayılar, hem 1, 2, 3 gibi sembollerle ve hem de yazı ile bir, iki, üç, gibi yazabiliyoruz. Fakat bilinen eski sayma sistemlerinden biri, Eski Mısırlıların kullandıklarıdır. Eski Mısırlıların kullandıkları resim yazısının (hiyeroglif) başlangıç tarihi, M.Ö. 3300 yılına kadar geri gider. Eski Mısırlılara ait sayma sistemi, ilkçağ mağara, insanının önceleri kullandığı sayma sisteminin gelişmiş şeklidir.

3 Eski Mısır aritmetiği hakkındaki bilgilerimiz, papirüs tomarlarından elde edilmektedir. Bugün bu papirüsler; bilim tarihinde, M.Ö. 1900-1800 yılları için adlandırılan, Kahun ve Berlin papirüsleri ile, M.Ö. 1700 ile 1600 yılları için adlandırılan Hiksoslar Devrinden M.Ö. 1788- 1580 kalma Rhind ve Moskova matematik papirüsleridir. Mısır matematiği hakkındaki diğer kaynaklar, birkaç parşömen tomarı ile kil ve tahta tabletlere dayanmaktadır.Eski Mısır aritmetiği hakkındaki bilgilerimiz, papirüs tomarlarından elde edilmektedir. Bugün bu papirüsler; bilim tarihinde, M.Ö. 1900-1800 yılları için adlandırılan, Kahun ve Berlin papirüsleri ile, M.Ö. 1700 ile 1600 yılları için adlandırılan Hiksoslar Devrinden M.Ö. 1788- 1580 kalma Rhind ve Moskova matematik papirüsleridir. Mısır matematiği hakkındaki diğer kaynaklar, birkaç parşömen tomarı ile kil ve tahta tabletlere dayanmaktadır. Eski Mısır’da rakam ve sayılar bazı sembollerin (şekillerin) yan yana gelmesiyle ortaya çıkıyordu. Bütün rakamlar, 7 değişik şeklin bir araya gelmesiyle ve yazım biçimi de, sağdan sola doğru ifade ediliyorduEski Mısır’da rakam ve sayılar bazı sembollerin (şekillerin) yan yana gelmesiyle ortaya çıkıyordu. Bütün rakamlar, 7 değişik şeklin bir araya gelmesiyle ve yazım biçimi de, sağdan sola doğru ifade ediliyordu

4 Eski Uygarlıkların Kullandıkları Sayı Sistemleri Eski Uygarlıkların Kullandıkları Sayı Sistemleri Sayıları da, bu sembollerle göstererek bir sayı sistemi geliştirmişlerdir. Eski Mısırlıların, 1 den 1.000.000 a kadar olan sayıları göstermek ve yazmak için kullandıkları semboller (şekiller) yukarıda gösterilmiştir. Tablonun incelenmesinden anlaşılacağı gibi, 9 sayısını ifade etmek için, 9 ayrı şekil, 90 sayısını ifade edebilmek için, 9 adet başka bir şekil; 99 için 18 aynı şekil, 999 sayısı için ise, 27 ayrı şekil (sembol) kullanmak gerekli olmaktadır. Eski Mısırlılar; bu sembolleri, gerektiğinde tahta, ağaç ve taş üzerine de oymuşlardır. Bu rakamları bir kaç kez kullanarak, istenilen sayıları göstermişlerdir. Bu sistemde; gruplamalar onarlık yapıldığından, sistem onluk sistemdir. Eski Mısır sistemi, aşağıdaki belirtilen özelliklerinden dolayı, mağara insanının kullandığı sistemin geliştirilmiş şekli idi: a) Bir kümede bulunan şeylerin toplam sayısı, sadece bir tek sembolle belirtilmiştir. Örneğin: 10 sayısının bir topuk kemiği sembolü ile belirtilmesi gibi.Sayıları da, bu sembollerle göstererek bir sayı sistemi geliştirmişlerdir. Eski Mısırlıların, 1 den 1.000.000 a kadar olan sayıları göstermek ve yazmak için kullandıkları semboller (şekiller) yukarıda gösterilmiştir. Tablonun incelenmesinden anlaşılacağı gibi, 9 sayısını ifade etmek için, 9 ayrı şekil, 90 sayısını ifade edebilmek için, 9 adet başka bir şekil; 99 için 18 aynı şekil, 999 sayısı için ise, 27 ayrı şekil (sembol) kullanmak gerekli olmaktadır. Eski Mısırlılar; bu sembolleri, gerektiğinde tahta, ağaç ve taş üzerine de oymuşlardır. Bu rakamları bir kaç kez kullanarak, istenilen sayıları göstermişlerdir. Bu sistemde; gruplamalar onarlık yapıldığından, sistem onluk sistemdir. Eski Mısır sistemi, aşağıdaki belirtilen özelliklerinden dolayı, mağara insanının kullandığı sistemin geliştirilmiş şekli idi: a) Bir kümede bulunan şeylerin toplam sayısı, sadece bir tek sembolle belirtilmiştir. Örneğin: 10 sayısının bir topuk kemiği sembolü ile belirtilmesi gibi.

5 Diğer sayıları göstermek için, aynı semboller tekrarlanmıştır. b) Bu sistemde 10 luk gruplar esas alınmıştır. On düşey çizgi, bir topuk kemiği sembolünü, on topuk kemiği sembolü de, bir çengel sembolüne eş değerdir. Bu şekilde devam eder. Konu hakkında bir fikir vermesi bakımından aşağıdaki tabloda on tabanlı sayıların, eski Mısır sayma düzeninde nasıl yapıldığı gösterilmiştir.Eski Mısırlılar sıfır kavramını da bilmiyorlardı ve sıfırı gösterecek bir işaret (sembol) kullanmamışlardı. Fakat sayıları, çarpma ve çıkarma tablolarına, ehramların yapılış tarihlerinden itibaren sahip bulunuyorlardı. Mezopotamyalılarda rakamlar, çivi yazısında görülen çivi yada oduncu kamasına benzeyen şekillerden ibarettir.Diğer sayıları göstermek için, aynı semboller tekrarlanmıştır. b) Bu sistemde 10 luk gruplar esas alınmıştır. On düşey çizgi, bir topuk kemiği sembolünü, on topuk kemiği sembolü de, bir çengel sembolüne eş değerdir. Bu şekilde devam eder. Konu hakkında bir fikir vermesi bakımından aşağıdaki tabloda on tabanlı sayıların, eski Mısır sayma düzeninde nasıl yapıldığı gösterilmiştir.Eski Mısırlılar sıfır kavramını da bilmiyorlardı ve sıfırı gösterecek bir işaret (sembol) kullanmamışlardı. Fakat sayıları, çarpma ve çıkarma tablolarına, ehramların yapılış tarihlerinden itibaren sahip bulunuyorlardı. Mezopotamyalılarda rakamlar, çivi yazısında görülen çivi yada oduncu kamasına benzeyen şekillerden ibarettir.

6 Bu işaretlerin (sembollerin) uygun biçimde, yan yana veya büyük sayıları gösterebilmek için toplu olarak veya tekrarlayarak grup halinde yazmak suretiyle 60’a kadar sayıları ifade edebiliyorlardı. Bu tür yazım şeklinde, 0.1 ve 0.01 ile 0.001 gibi rakamların arasındaki farkı anlamak bir hayli güçtü. Bunu anlayabilmek için; metin, konu ve karine yardımıyla sonuç çıkarma yollarına gidilirdi. Mezopotamyalılar da, sıfır sembolünü kullanmamışlardır. Ancak astronomilerinde bu maksatla, özel bir sembol kullandıkları anlaşılmaktadır. Roma rakamlarına dayalı, Roma sayma düzenine göre, toplama ve çıkarma işlemlerinin yapılmasında, bazı temel özellik ve sınırlamalar vardır. Bunları özetlersek :Bu işaretlerin (sembollerin) uygun biçimde, yan yana veya büyük sayıları gösterebilmek için toplu olarak veya tekrarlayarak grup halinde yazmak suretiyle 60’a kadar sayıları ifade edebiliyorlardı. Bu tür yazım şeklinde, 0.1 ve 0.01 ile 0.001 gibi rakamların arasındaki farkı anlamak bir hayli güçtü. Bunu anlayabilmek için; metin, konu ve karine yardımıyla sonuç çıkarma yollarına gidilirdi. Mezopotamyalılar da, sıfır sembolünü kullanmamışlardır. Ancak astronomilerinde bu maksatla, özel bir sembol kullandıkları anlaşılmaktadır. Roma rakamlarına dayalı, Roma sayma düzenine göre, toplama ve çıkarma işlemlerinin yapılmasında, bazı temel özellik ve sınırlamalar vardır. Bunları özetlersek :

7 Toplama İşlemindeki Özellik ve Sınırlamalar a) Yanyana yazılan ve aynı sembolü gösteren, iki ya da üç temel rakam birbiriyle toplanarak, toplama karşı gelen sayı elde edilir. Örnek : I I I = 1 + 1 + 1 = 3 X X = 10 + 10 = 20 Uyarı : Bu rakamların yazılışları ile ilgili önemli özellik : I, X, C sembolleri yanyana, 3’ten fazla; V, L, D, M sembolleri de, 1 den fazla yazılamaz.a) Yanyana yazılan ve aynı sembolü gösteren, iki ya da üç temel rakam birbiriyle toplanarak, toplama karşı gelen sayı elde edilir. Örnek : I I I = 1 + 1 + 1 = 3 X X = 10 + 10 = 20 Uyarı : Bu rakamların yazılışları ile ilgili önemli özellik : I, X, C sembolleri yanyana, 3’ten fazla; V, L, D, M sembolleri de, 1 den fazla yazılamaz.

8 b) Büyük rakamların sağına yazılan küçük rakamlar, kendisi ile toplanarak toplama karşı gelen sayı elde edlir. Örnek : XV = 10 + 5 = 15 DLXI = 500 + 50 + 10 + 1 = 561b) Büyük rakamların sağına yazılan küçük rakamlar, kendisi ile toplanarak toplama karşı gelen sayı elde edlir. Örnek : XV = 10 + 5 = 15 DLXI = 500 + 50 + 10 + 1 = 561

9 C) Küçük değerleri gösteren semboller (rakamlar), büyük değerleri gösteren sembollerin sağına yağıldığında, bu değerler toplanarak toplama karşı kelen sayı elde edilir. Örnek : MDCLXVI = 1000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 = 1666 DLXI = 500 + 50 + 10 + 1 = 561C) Küçük değerleri gösteren semboller (rakamlar), büyük değerleri gösteren sembollerin sağına yağıldığında, bu değerler toplanarak toplama karşı kelen sayı elde edilir. Örnek : MDCLXVI = 1000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 = 1666 DLXI = 500 + 50 + 10 + 1 = 561

10 B -Çıkarma İşleminde Özellik ve Sınırlamalar a) 5 ile başlayan V, L, D sembolleri, çıkarma amacı ile, kendinden büyük değer belirten sembollerin soluna yazılmaz.B -Çıkarma İşleminde Özellik ve Sınırlamalar a) 5 ile başlayan V, L, D sembolleri, çıkarma amacı ile, kendinden büyük değer belirten sembollerin soluna yazılmaz. b) Bir sayı, ancak aşağıdaki durumlarda çıkarılabilir. I sadece V ve X den çıkarılabilir. X sadece L ve C den çıkarılabilir. C sadece D ve M den çıkarılabilir.b) Bir sayı, ancak aşağıdaki durumlarda çıkarılabilir. I sadece V ve X den çıkarılabilir. X sadece L ve C den çıkarılabilir. C sadece D ve M den çıkarılabilir.

11 c) Küçük değerli semboller, büyük değerli sembollerin, soluna yazıldığında, büyük değerden küçüğü çıkarılır, bu fark sayıyı verir Örnek : IX = 10 -1 = 9 XL = 50 -10 = 40 d) İki büyük değerli sembol (rakam) arasına yazılan küçük değerli sembol, sağındakinden çıkarılmak suretiyle, sonuca denk gelen sayı elde edilir. Örnek : CXL = 140 LIX = 59c) Küçük değerli semboller, büyük değerli sembollerin, soluna yazıldığında, büyük değerden küçüğü çıkarılır, bu fark sayıyı verir Örnek : IX = 10 -1 = 9 XL = 50 -10 = 40 d) İki büyük değerli sembol (rakam) arasına yazılan küçük değerli sembol, sağındakinden çıkarılmak suretiyle, sonuca denk gelen sayı elde edilir. Örnek : CXL = 140 LIX = 59

12 d) Roma sembollerinin değer bir özelliği de, binleri göstermek için sembolün üzerine bir yatay çizgi, milyonları göstermek için de; ilgili sembolün üzerine iki yatay çizgi çizilerek ifade edilir. Görülüyor ki; Roma sayma düzeni, sadece toplama ve çıkarma işlemine dayanmaktadır. Sıfır ve basamak sistemi (kavramı) yoktur. Bu nedenle, aritmetik işlem yapmaya uygun değildir. Şöyle ki : Roma’ da Forum Meydanındaki süslü hitabet kürsüsünün Columna Restrata sütünunda 2.200.000 sayısını belirtmek için yirmi iki adet yüz bin’i gösteren sembol (sayı işareti) oyulmuştur. Roma rakamları bu özellikleri dolayısıyla; bugün matematik işlemleri yapmak amacıyla kullanılmamaktadır. Ancak, çok sınırlı olan, bazı özel gösterimler için kullanılmaktadır.d) Roma sembollerinin değer bir özelliği de, binleri göstermek için sembolün üzerine bir yatay çizgi, milyonları göstermek için de; ilgili sembolün üzerine iki yatay çizgi çizilerek ifade edilir. Görülüyor ki; Roma sayma düzeni, sadece toplama ve çıkarma işlemine dayanmaktadır. Sıfır ve basamak sistemi (kavramı) yoktur. Bu nedenle, aritmetik işlem yapmaya uygun değildir. Şöyle ki : Roma’ da Forum Meydanındaki süslü hitabet kürsüsünün Columna Restrata sütünunda 2.200.000 sayısını belirtmek için yirmi iki adet yüz bin’i gösteren sembol (sayı işareti) oyulmuştur. Roma rakamları bu özellikleri dolayısıyla; bugün matematik işlemleri yapmak amacıyla kullanılmamaktadır. Ancak, çok sınırlı olan, bazı özel gösterimler için kullanılmaktadır.

13 ESKİ UYGARLIKLARIN MATEMATİKLERİ Doğu MatematiğiDoğu Matematiği Doğu matematiği uygulamalı bilim kökenliydi.Takvimin hesaplanması tarımsal üretim ve bayındırlıkla ilgili işlerin örgütlenmesi vergilerin toplanması uygulamalı aritmetik ve ölçme sorunlarına öncelikle ağırlık verilmesini gerektirdi.Bununla birlikte yüzyıllar boyunca özel bir zanaat olarak gelişen bilim yalnızca uygulamaya yönelik değildi ; sırlar öğretilirken soyutlamaya yönelik eğilimler de ortaya çıktı.Aritmetiğin cebire dönüşmesi yalnızca daha pratik hesaplamalar sağladığı için olmadı ; bu aynı zamanda yazıcı okullarında öğretilen bir bilimin doğal bir gelişimiydi.Aynı nedenlerle ölçme ile ilgili bilgiler kuramsal geometrinin başlangıcını oluşturdu.Doğu matematiği uygulamalı bilim kökenliydi.Takvimin hesaplanması tarımsal üretim ve bayındırlıkla ilgili işlerin örgütlenmesi vergilerin toplanması uygulamalı aritmetik ve ölçme sorunlarına öncelikle ağırlık verilmesini gerektirdi.Bununla birlikte yüzyıllar boyunca özel bir zanaat olarak gelişen bilim yalnızca uygulamaya yönelik değildi ; sırlar öğretilirken soyutlamaya yönelik eğilimler de ortaya çıktı.Aritmetiğin cebire dönüşmesi yalnızca daha pratik hesaplamalar sağladığı için olmadı ; bu aynı zamanda yazıcı okullarında öğretilen bir bilimin doğal bir gelişimiydi.Aynı nedenlerle ölçme ile ilgili bilgiler kuramsal geometrinin başlangıcını oluşturdu.

14 Mısır Matematiği Mısır matematiğine ilişkin bilgilerimizin çoğu iki kaynağa dayanır.Bunlar 85 problemi içeren Rhind Papirüsü ve bundan belki de 200 yıl öncesine ait olan ve 25 problemi kapsayan Moscow Papürüsüdür.Bu elyazmaları düzenlenirken içerdikleri problemler zaten eskiden beri biliniyordu ; ama yakın dönemden hatta Roma döneminden kalma az sayıdaki papirüsteki yöntemler de bundan farklı değildi.Kullandıkları matematik onlu sayı sistemine dayanıyordu ve 10dan büyük her 10lu birim için özel simgeler kullanılıyordu.Bu tür sistemleri Roma rakamlarından biliyoruz : MDCCCLXXVII = 1878.Bu sistemi kullanan Mısırlılar çarpmayı ardışık toplamalara indirgeyen toplama ağırlıklı bir aritmetik geliştirdi.Örneğin bir sayıyı 13 ile çarpmak için onu önce 4 ve 8le çarpıyorlardı daha sonra çıkan sonucu sayının kendisine ekliyorlardı.Mısır Matematiği Mısır matematiğine ilişkin bilgilerimizin çoğu iki kaynağa dayanır.Bunlar 85 problemi içeren Rhind Papirüsü ve bundan belki de 200 yıl öncesine ait olan ve 25 problemi kapsayan Moscow Papürüsüdür.Bu elyazmaları düzenlenirken içerdikleri problemler zaten eskiden beri biliniyordu ; ama yakın dönemden hatta Roma döneminden kalma az sayıdaki papirüsteki yöntemler de bundan farklı değildi.Kullandıkları matematik onlu sayı sistemine dayanıyordu ve 10dan büyük her 10lu birim için özel simgeler kullanılıyordu.Bu tür sistemleri Roma rakamlarından biliyoruz : MDCCCLXXVII = 1878.Bu sistemi kullanan Mısırlılar çarpmayı ardışık toplamalara indirgeyen toplama ağırlıklı bir aritmetik geliştirdi.Örneğin bir sayıyı 13 ile çarpmak için onu önce 4 ve 8le çarpıyorlardı daha sonra çıkan sonucu sayının kendisine ekliyorlardı.

15 Görüldüğü gibi sonuç aynı.Mısır matematiğinin en önemli yönü kesirlerle yapılan hesaplamalardır.Bütün kesirler payı bir olan birim kesirlerin toplamı olarak yazılırdı.Görüldüğü gibi sonuç aynı.Mısır matematiğinin en önemli yönü kesirlerle yapılan hesaplamalardır.Bütün kesirler payı bir olan birim kesirlerin toplamı olarak yazılırdı. Bazı problemlerin teorik yanları ağır basıyordu.Örneğin 100 somun ekmeği 5 kişi arasında her birine düşen pay aritmetik olarak artarak ve en büyük 3 payın toplamının yedide biri en küçük iki payın toplamına eşit olacak biçimde bölüştürülmesi problemi böyleydi.7 evin her birinin 7 kedisi her kedinin kovaladığı 7 farenin olduğu problem geometrik olarak artan bir serinin toplamının formülünü bildiklerini gösteriyordu.Bazı problemlerin teorik yanları ağır basıyordu.Örneğin 100 somun ekmeği 5 kişi arasında her birine düşen pay aritmetik olarak artarak ve en büyük 3 payın toplamının yedide biri en küçük iki payın toplamına eşit olacak biçimde bölüştürülmesi problemi böyleydi.7 evin her birinin 7 kedisi her kedinin kovaladığı 7 farenin olduğu problem geometrik olarak artan bir serinin toplamının formülünü bildiklerini gösteriyordu.

16 Mezopotamya Matematiği Mezopotamya matematiği Mısır matematiğinin hiçbir dönemde ulaşamadığı bir düzeye erişti.Burada yüzyıllar içinde bile ilerlemeyi fark edebiliriz.M.Ö 2100deki en eski metinlerde bile gelişmiş hesap izleri bulunur.Bu metinlerde 10lu sistemin üzerine 60lı sistemin eklendiği çarpım tabloları bulunmaktaydı.1 60 3600 ; hatta 60 üstü ve 60 üstü 2yi gösteren çiviyazısı simgeler kullanılmıştı.Ama bu onların matematiğinin tipik özelliği değildi.Mısırlılar daha büyük her sayıyı yeni bir simge ile gösterirken Sümerliler aynı simgeyi kullanıp değerini bulunduğu yere göre belirliyorlardı.Mezopotamya matematiği Mısır matematiğinin hiçbir dönemde ulaşamadığı bir düzeye erişti.Burada yüzyıllar içinde bile ilerlemeyi fark edebiliriz.M.Ö 2100deki en eski metinlerde bile gelişmiş hesap izleri bulunur.Bu metinlerde 10lu sistemin üzerine 60lı sistemin eklendiği çarpım tabloları bulunmaktaydı.1 60 3600 ; hatta 60 üstü ve 60 üstü 2yi gösteren çiviyazısı simgeler kullanılmıştı.Ama bu onların matematiğinin tipik özelliği değildi.Mısırlılar daha büyük her sayıyı yeni bir simge ile gösterirken Sümerliler aynı simgeyi kullanıp değerini bulunduğu yere göre belirliyorlardı. Ayrıca 60lı sayı sistemi insanlığın kalıcı bir kazanımı oldu.Günümüzde kullandığımız saatin 60 dakika ve 3600 saniyeye bölünmesinin de dairenin 360 dereceye her derecenin 60 dakikaya her dakikanın da 60 saniyeye bölünmesinin kökeni de Sümerlilere kadar uzanır.Birim olarak 10 yerine 60ın alınmasının sebebi ölçme sistemlerini birleştirmek olabileceği gibi 60ın birçok böleninin olması da nedenlerden biri olabilir.Ayrıca 60lı sayı sistemi insanlığın kalıcı bir kazanımı oldu.Günümüzde kullandığımız saatin 60 dakika ve 3600 saniyeye bölünmesinin de dairenin 360 dereceye her derecenin 60 dakikaya her dakikanın da 60 saniyeye bölünmesinin kökeni de Sümerlilere kadar uzanır.Birim olarak 10 yerine 60ın alınmasının sebebi ölçme sistemlerini birleştirmek olabileceği gibi 60ın birçok böleninin olması da nedenlerden biri olabilir.

17 MISIR HİYEROGLİFLERİ Eğer yazılarınızı eski Mısır hiyeroglifleriyle yazarsanız çoğu kişi bunları okumaya çalışmaktan vazgeçecektir.Eğer yazılarınızı eski Mısır hiyeroglifleriyle yazarsanız çoğu kişi bunları okumaya çalışmaktan vazgeçecektir. Eski Mısır Hiyerogliflerinden Mısır rakamlarını öğrenmek çok kolaydır ; çünkü hepsinin bir görsel anlamı vardır.Büyük bir olasılıkla yazı yazmaya başlamadan once Mısırlılar sayı saymak için parmaklarını kullanıyorlardı.Başka birinin okuması için sayı düzenlemeleri gerektiğinde de yine büyük bir olasılıkla yan yana sıralanmış yapraklar ip parçaları ve çiçekler bırakıyorlardı.Neden mi böyle düşünüyoruz.Çünkü daha sonradan hiyeroglif yazı sistemini geliştirdiklerinde yaprak ip parçaları çiçek ve hatta yılan ve iribaşlar kullanmışlar.Eski Mısır Hiyerogliflerinden Mısır rakamlarını öğrenmek çok kolaydır ; çünkü hepsinin bir görsel anlamı vardır.Büyük bir olasılıkla yazı yazmaya başlamadan once Mısırlılar sayı saymak için parmaklarını kullanıyorlardı.Başka birinin okuması için sayı düzenlemeleri gerektiğinde de yine büyük bir olasılıkla yan yana sıralanmış yapraklar ip parçaları ve çiçekler bırakıyorlardı.Neden mi böyle düşünüyoruz.Çünkü daha sonradan hiyeroglif yazı sistemini geliştirdiklerinde yaprak ip parçaları çiçek ve hatta yılan ve iribaşlar kullanmışlar.

18

19 İşte bazı örnekler

Yazı kaynağı : slideplayer.biz.tr

Eski Uygarlıklarlar İlkçağdan beri rakamları kullanmaya başlamışlardır. Sayılar ve Rakamları kilden yapılmış tabletler üzerine çizik yaparak veya kesilmiş ağaç dalı üzerine çentikler yaparak kullanmışlardır. İlkçağda yapılan bu çizik ve çentikler rakamların gelişmesinde yardımcı olmuşlardır. İlk nsanlar, rakamları ifade etmek için de için, değişik ses ve kelimeler de uygulamışlardır.

Günümüzde bu rakamları belirten  semboller ve sözcükler bulunur. Günümüzde; sayılar, hem 1, 2, 3 gibi sembol olarak ve de  bir, iki, üç, gibi yazı olarakta yazabiliyor. Bilinen ilk eski sayma sistemlerinden biri, ise Eski Mısırlıların kullandıkları sistemdir. Eski Mısırlılarda resim yazısının (hiyeroglif) başlangıç tarihi, M.Ö. 3300 yılına kadar gidebilmektedir. Eski Mısırlılara ait sayma sayı sistemi, ilkçağ mağara, insanlarından önceleri kullanılan sayma sisteminin gelişmiş halidir.

Eski Mısır matematiği  hakkındaki belgeler papirüs tomarlarından elde edilenlerdir.. Günümüzde bu papirüsler; bilim tarihinde, M.Ö. 1900-1800 yılları için adlandırılan, Kahun ve Berlin papirüsleri ile, M.Ö. 1700 ile 1600 yılları için adlandırılan Hiksoslar Devrinden M.Ö. 1788-1580 kalma Rhind ve Moskova matematik papirüsleri olarak bilinir.. Mısır matematiği hakkındaki diğerbilgiler, birkaç parşömen tomarı ile kil ve tahta tabletleri olarak bulunur.

Eski Mısır’da sayılar bazı şekillerin yan yana gelmesiyle oluşuyordu. Bütün rakamlar, 7 değişik şeklin bir araya gelmesiyle ve yazım biçimi de, sağdan sola doğru oluşuyordu.Sayılar da, bu sembollerle  birlikte yaparak  bir sayı sistemi oluşturmuşlardır.Eski Mısırlılar 1 den 1.000.000 a kadar olan sayıları göstermek ve yazmak için kullandıkları şekillerle gösterilmiştir.Resimdeki gibi, 9 sayısını göstermek için, 9 ayrı şekil, 90 sayısını ifade edebilmek için, 9 adet başka bir şekil; 99 için 18 aynı şekil, 999 sayısı için ise, 27 ayrı şekil kullanmak gerekli olmaktadır.

Eski Mısırlılar; bu sembolleri, gerektiğinde tahta, ağaç ve taş üzerine de oymuşlardır. Bu rakamları bir kaç kez kullanarak, istenilen sayıları göstermişlerdir. Bu sistemde; gruplamalar onarlık yapıldığından, sistem onluk sistemdir.

Roma rakamlarına dayalı, Roma sayma sistemine göre, toplama ve çıkarma işlemlerinin yapılmasında, bazı temel özellikler vardır. :

A -Roma rakamında Toplama İşlemindeki Özellik ve Sınırlamalar
a) Yanyana yazılan ve aynı sembolü gösteren, iki ya da üç temel rakam birbiriyle toplanarak, toplama karşı gelen sayı elde edilir .

Örnek :
I I I = 1 + 1 + 1 = 3,     X X = 10 + 10 = 20

Bu rakamların yazılışları ile ilgili önemli özellik : I, X, C sembolleri yanyana, 3’ten fazla; V, L, D, M sembolleri de, 1 den fazla yazılamaz.
b) Büyük rakamların sağına yazılan küçük rakamlar, kendisi ile toplanarak toplama karşı gelen sayı elde edlir.
Örnek :
XV = 10 + 5 = 15
DLXI = 500 + 50 + 10 + 1 = 561
C) Küçük değerleri gösteren semboller (rakamlar), büyük değerleri gösteren sembollerin sağına yağıldığında, bu değerler toplanarak toplama karşı kelen sayı elde edilir.
Örnek :
MDCLXVI = 1000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 = 1666
DLXI = 500 + 50 + 10 + 1 = 561

B- Roma rakamlarında Çıkarma İşleminde Özellik ve Sınırlamalar şunlardır

a) 5 ile başlayan V, L, D sembolleri, çıkarma amacı ile, kendinden büyük değer belirten sembollerin soluna yazılmaz.
b) Bir sayı, ancak aşağıdaki durumlarda çıkarılabilir.
I sadece V ve X den çıkarılabilir.
X sadece L ve C den çıkarılabilir.
C sadece D ve M den çıkarılabilir.
c) Küçük değerli semboller, büyük değerli sembollerin, soluna yazıldığında, büyük değerden küçüğü çıkarılır, bu fark sayıyı verir
Örnek :
IX = 10 -1 = 9
XL = 50 -10 = 40
d) İki büyük değerli sembol (rakam) arasına yazılan küçük değerli sembol, sağındakinden çıkarılmak suretiyle, sonuca denk gelen sayı elde edilir.
Örnek :
CXL = 140
LIX = 59

d) Roma sembollerinin değer bir özelliği de, binleri göstermek için sembolün üzerine bir yatay çizgi, milyonları göstermek için de; ilgili sembolün üzerine iki yatay çizgi çizilerek ifade edilir.

Buna göre; Roma sayma düzeni, sadece toplama ve çıkarma işlemine dayanmaktadır. Sıfır ve basamak sistemi bulunmaz. Bu nedenle, aritmetik işlem yapmaya uygun değildir. Şöyle ki : Roma’ da Forum Meydanındaki süslü hitabet kürsüsünün Columna Restrata sütünunda 2.200.000 sayısını belirtmek için yirmi iki adet yüz bin’i gösteren sembol (sayı işareti) oyulmuştur.
Roma rakamları bu özellikleri dolayısıyla; bugün matematik işlemleri yapmak amacıyla kullanılmamaktadır. Ancak, çok sınırlı olan, bazı özel gösterimler için kullanılmaktadır.

ESKİ UYGARLIKLARIN MATEMATİKLERİ

Doğu Matematiği

Doğu matematiği uygulamalı bilim kökenliydi .Takvimin hesaplanması tarımsal üretim ve bayındırlıkla ilgili işlerin örgütlenmesi vergilerin toplanması uygulamalı aritmetik ve ölçme sorunlarına öncelikle ağırlık verilmesini gerektirdi .Bununla birlikte yüzyıllar boyunca özel bir zanaat olarak gelişen bilim yalnızca uygulamaya yönelik değildi ; sırlar öğretilirken soyutlamaya yönelik eğilimler de ortaya çıktı .Aritmetiğin cebire dönüşmesi yalnızca daha pratik hesaplamalar sağladığı için olmadı ; bu aynı zamanda yazıcı okullarında öğretilen bir bilimin doğal bir gelişimiydi .Aynı nedenlerle ölçme ile ilgili bilgiler kuramsal geometrinin başlangıcını oluşturdu .

Mısır Matematiği
Mısır matematiğine ilişkin bilgilerimizin çoğu iki kaynağa dayanır .Bunlar 85 problemi içeren Rhind Papirüsü ve bundan belki de 200 yıl öncesine ait olan ve 25 problemi kapsayan Moscow Papürüsüdür .Bu elyazmaları düzenlenirken içerdikleri problemler zaten eskiden beri biliniyordu ; ama yakın dönemden hatta Roma döneminden kalma az sayıdaki papirüsteki yöntemler de bundan farklı değildi .Kullandıkları matematik onlu sayı sistemine dayanıyordu ve 10dan büyük her 10lu birim için özel simgeler kullanılıyordu .Bu tür sistemleri Roma rakamlarından biliyoruz : MDCCCLXXVII = 1878 .Bu sistemi kullanan Mısırlılar çarpmayı ardışık toplamalara indirgeyen toplama ağırlıklı bir aritmetik geliştirdi .Örneğin bir sayıyı 13 ile çarpmak için onu önce 4 ve 8le çarpıyorlardı daha sonra çıkan sonucu sayının kendisine ekliyorlardı .Bu işlemi yaparak inceleyelim :

Normal çarpma işlemi :3´13=39

Mısırlıların kullandığı yöntem :

3´4 =12

3´8 =24

24+12 =36

36+3 =39

Görüldüğü gibi sonuç aynı .Mısır matematiğinin en önemli yönü kesirlerle yapılan hesaplamalardır .Bütün kesirler payı bir olan birim kesirlerin toplamı olarak yazılırdı .

Bazı problemlerin teorik yanları ağır basıyordu .Örneğin 100 somun ekmeği 5 kişi arasında her birine düşen pay aritmetik olarak artarak ve en büyük 3 payın toplamının yedide biri en küçük iki payın toplamına eşit olacak biçimde bölüştürülmesi problemi böyleydi .7 evin her birinin 7 kedisi her kedinin kovaladığı 7 farenin olduğu problem geometrik olarak artan bir serinin toplamının formülünü bildiklerini gösteriyordu .

Böyle problemler için yazılmış şiirler şarkılar bile vardır .Şu şiiri anımsayalım :

Biryere giderken

7 karısı olan bir adamla karşılaştım

Her karısının yedi sepeti
Her sepetin yedi kedisi

Her kedinin yedi yavrusu vardı
Her yavrununda yedi çıngırağı vardı

Yavrular kediler sepetler kadınlar ve çıngıraklar

Kaç tanesi biryere gidiyordu

Mezopotamya Matematiği
Mezopotamya matematiği Mısır matematiğinin hiçbir dönemde ulaşamadığı bir düzeye erişti .Burada yüzyıllar içinde bile ilerlemeyi fark edebiliriz .M.Ö 2100deki en eski metinlerde bile gelişmiş hesap izleri bulunur .Bu metinlerde 10lu sistemin üzerine 60lı sistemin eklendiği çarpım tabloları bulunmaktaydı .1 60 3600 ; hatta 60 üstü ve 60 üstü 2yi gösteren çiviyazısı simgeler kullanılmıştı .Ama bu onların matematiğinin tipik özelliği değildi .Mısırlılar daha büyük her sayıyı yeni bir simge ile gösterirken Sümerliler aynı simgeyi kullanıp değerini bulunduğu yere göre belirliyorlardı .

Ayrıca 60 lı sayı sistemi insanlığın kalıcı bir kazanımı oldu .Günümüzde kullandığımız saatin 60 dakika ve 3600 saniyeye bölünmesinin de dairenin 360 dereceye her derecenin 60 dakikaya her dakikanın da 60 saniyeye bölünmesinin kökeni de Sümerlilere kadar uzanır .Birim olarak 10 yerine 60ın alınmasının sebebi ölçme sistemlerini birleştirmek olabileceği gibi 60ın birçok böleninin olması da nedenlerden biri olabilir .

Yazı kaynağı : www.ogretmensitemiz.com

Antik Uygarlıklarda Matematik Sembolleri

Alışveriş yaparken, yemek pişirirken, otomobil kullanırken, problem çözerken ya da spor yaparken... Günlük hayatımızın birçok anında farkında olmasak da matematikten faydalanırız. Çok eski zamanlardan beri hesap yapmak için kullanılan matematikteki rakamlar farklı medeniyetler tarafından farklı sembollerle ifade edilmişti.

İnsanların yerleşik hayata geçmesiyle birlikte ticaretle uğraşmaya başlamaları ve tarım alanlarının hesaplanmasına ihtiyaç duymaları, matematiğin yazılı sembollerle ifade edilmesine neden oldu. İlk başlarda rakamlar doğa veya dünya ile ilişkili, kolay algılanabilecek sembollerle yazılıyordu: Örneğin 1 için Güneş, 2 için gözler ya da bir kuşun kanatları, 3 için yonca, 4 için hayvan ayakları kullanılıyordu.

Eski Mısır’da da rakamlar için resimli semboller tercih ediliyordu. Bu semboller çiçek, parmak, kurbağa gibi resimlerden ve çizgilerden oluşuyordu: Örneğin 1 rakamı dik bir çizgi şeklinde, 10 sayısı yay, 100 sayısı spiral ip, 1000 sayısı ise çiçek resmiyle ifade ediliyordu. 9 rakamı için dokuz çizgiyi ya da 3000 sayısı için üç çiçek sembolünü yan yana koymak gerekiyordu.

Eski Mısırlılar, matematikte günümüzdeki gibi 10 tabanlı sayı sistemini kullanıyordu. Bu sayı sisteminin insan elindeki 10 parmaktan esinlenilerek oluşturulduğu düşünülüyor.

10 tabanlı sayı sisteminde sayılar 0’dan 9’a kadar rakamlardan oluşur. Bu rakamlar kullanılarak sayılar 10 ve katları şeklinde basamaklandırılır, sayı değeri bulunurken verilen sayının en soldaki rakamı, yanındaki basamak sayısınca 10 ile çarpılır.

Örneğin 12.345 sayısı

1x104+2x103+3x102+4x101+5x100

şeklinde yazılır. Yani 12.345 sayısındaki 1’in sayı değeri aslında 10.000’dir.

Babilliler ise matematikte 60 tabanlı sayı sistemini kullanıyordu. 60 tabanlı sayı sisteminin, 60 sayısının kendinden küçük bölenlerinin çok olması nedeniyle kesirli işlemlerin yapılmasını kolaylaştırdığı için tercih edildiği düşünülüyor. Örneğin bir günün 12’şer saatten gece ve gündüz olarak bölünmesi günlük işlerin planlanmasında kolaylık sağlıyor.

Babillilerin kullandığı matematik sisteminde toplamda 59 sembol vardı. Bu semboller ise sadece iki şekilden oluşuyordu. 1 rakamı çivi ile, 10 sayısı ise bir köşe çengeliyle resimlendiriliyordu.

1 rakamını temsil eden çivi görseli ve 10 sayısını temsil eden köşe çengeli görseli

Babillilerin matematik sembollerinde 1 rakamını temsil eden görsel aynı zamanda 60 ve 60’ın katlarını da ifade ediyordu. Sembollerin yazılışlarındaki birbirine uzaklıkları ise sembolün hangi sayıyı temsil ettiğini gösteriyordu. Örneğin 61 sayısı birbirine belirli mesafede yan yana duran iki tane 1 rakamı yani iki tane çivi ile gösteriliyordu.

Günümüzde 1 günü 24 saate, 1 saati 60 dakikaya, 1 dakikayı 60 saniyeye ya da 3600 saliseye bölmemiz veya çemberi 360° olarak ifade etmemiz 60 tabanlı sayı sistemine dayanıyor. Bu sayı sistemi hâlen denizcilik ve astronomide koordinat hesaplamalarında kullanılıyor.

Görseli büyütmek için üstüne tıklayın.

Üzerinde matematik sembolleri bulunan Babil kil tableti

Mayalar ise matematikte 20 tabanlı sayı sistemini kullanıyordu. Yani 10 tabanlı sistemdeki gibi 1, 10 100 veya 1000 yerine 1, 20, 400 ve 8000 sayılarıyla işlemleri gerçekleştiriyorlardı. Mayaların 20 tabanlı sayı sisteminin el ve ayak parmaklarının toplamından oluştuğu düşünülüyor. Toplamda 19 sayıdan oluşan bu sistemde sadece üç sembol bulunuyordu. Bu semboller 0’ı temsil eden deniz kabuğu şekli, 1’i temsil eden nokta ve 5’i temsil eden yatay çizgiden oluşuyordu. Mayalar 0’ı rakam olarak kullanan en eski medeniyetlerden biridir.

1’den 19’a kadar olan sayıların Mayaların kullandığı matematik sembolleriyle ifade edilişi

Mayalar rakamları yazarken sembolleri yan yana değil aşağıdan yukarı doğru yerleştirirlerdi. Örneğin 18 sayısı için aşağıdan yukarıya üç tane 5 sembolü ve bunların üzerine üç tane 1 sembolü eklerlerdi. 20’den büyük sayıları yazarken Babilliler gibi sayıları sembollerin birbirlerine olan mesafeleriyle oluştururlardı. Sayının değerini en alttaki sayıyı 1 ile, onun üzerindeki sayıyı 20 ile çarparak hesaplarlardı. Örneğin 31 sayısını yazmak için 11 sayısını 1 ile, 1 sayısını ise 20 ile çarpar ve elde edilen değerleri toplayarak sayının gerçek değerini bulurlardı.

Rakamları ifade etmedeki farklılıklar günümüzde de mevcut. Birçok ülke matematikte rakamlar için 0, 1, 2, 3, 4,... gibi benzer semboller kullansa da Yunanistan, Suudi Arabistan ve Çin gibi bazı ülkeler rakamları kendi alfabelerindeki sembollerle ifade ediyor.

Kaynaklar:

Yazı kaynağı : bilimgenc.tubitak.gov.tr

Yorumların yanıtı sitenin aşağı kısmında

Ali : bilmiyorum, keşke arkadaşlar yorumlarda yanıt versinler.

Eski Uygarlıkların Kullandıkları sayı ve sistemler nelerdir?

Eskiden kullanılan sayı sistemi nedir?

Bilinen ilk sayı sistemi hangi medeniyete aittir?

Eski sayılar nelerdir?